ガウスの積分公式

ガウスの積分公式（Gaussian Integral）

{\int}_{\small \hspace*{-10}-\infty}^{\small \infty}{\exp}{(-ax^{2})}dx={\LARGE{\sqrt{\frac{\pi}{a}}}} \,\,\hspace{5} (a>0)


＜証明＞

I={\int}_{-\infty}^{\infty}{\exp}(-ax^{2})dx
とする。
（被積分関数より、I>0である。）


また、xをyに変えて
I={\int}_{-\infty}^{\infty}{\exp}(-ay^{2})dy
と書いても、同義である。


I^{2}を考えると、
\begin{eqnarray}\vspace{50}I^{2}&=&{\int}_{-\infty}^{\infty}{\exp}(-ax^{2})dx{\int}_{-\infty}^{\infty}{\exp}(-ay^{2})dy\\\vspace{50}&=&{\int}_{-\infty}^{\infty}dx{\int}_{-\infty}^{\infty}dy\hspace{3}{\exp}\{-a(x^{2}+y^{2})\}\\&=&{\int}_{-\infty}^{\infty}{\exp}\{-a(x^{2}+y^{2})\}dxdy\end{eqnarray}


ここで、
x=r\cos{\theta}、y=r\sin{\theta}と変数変換する。
x^{2}+y^{2}=r^{2}
また、微小変化部分dxdyは、下図より直感的に、以下のように変換できる。
dxdy=rd{\theta}dr
（dxdyは図右側の長方形の面積に相当する。一方、極座標変換した場合、色のついた微小変化の部分の面積は、長方形と近似して、rd{\theta}{\times}drと表せる。）

さらに、
x\mbox{\,:\,}{-\infty}{\rightarrow}{\infty}、y\mbox{\,:\,}{-\infty}{\rightarrow}{\infty}は
r\mbox{\,:\,}0{\rightarrow}{\infty}、\theta\mbox{\,:\,}0{\rightarrow}{2\pi}と書き換えられる。


よって、

\begin{eqnarray}\vspace{50}I^{2}&=&{\int}_{-\infty}^{\infty}{\exp}\{-a(x^{2}+y^{2})\}dxdy\\\vspace{50}&=&{\int}_{0}^{\infty}rdr{\int}_{0}^{2\pi}d{\theta}\hspace{5}{\exp}(-ar^{2})\\\vspace{50}&=&{\int}_{0}^{\infty}rdr\hspace{5}{\exp}(-ar^{2})\hspace{5}[\theta]_{0}^{2\pi}\\\vspace{50}&=&2\pi{\int}_{0}^{\infty}d(\frac{r^{2}}{2})\hspace{5}{\exp}(-ar^{2})\end{eqnarray}


ここで、
{\large \frac{r^{2}}{2}=t}
とおく（両辺を微分してrdr=dt、r\mbox{\,:\,}0{\rightarrow}{\infty}でt\mbox{\,:\,}0{\rightarrow}{\infty}）。


\begin{eqnarray}\vspace{50}I^{2}&=&2\pi{\int}_{0}^{\infty}dt\hspace{5}{\exp}(-2at)\\\vspace{50}&=&2\pi(-\frac{1}{2a})[{\exp}(-2at)]_{0}^{\infty}\\\vspace{50}&=&2\pi(-\frac{1}{2a})(0-1)\\\vspace{50}&=&{\LARGE \frac{\pi}{a}}\end{eqnarray}


I>0だったから、
I={\LARGE \sqrt{\frac{\pi}{a}}} （a>0）
＜証明おわり＞


（おまけ）
y={\exp}(-ax^{2})は、y軸に対して対照だから、

{\int}_{0}^{\infty}{\exp}(-ax^{2})dx={\int}_{-\infty}^{0}{\exp}(-ax^{2})dx=\frac{1}{2}{\int}_{-{\infty}}^{\infty}{\exp}(-ax^{2})dx=\frac{1}{2}{\LARGE \sqrt{\frac{\pi}{a}}}