フィックの第２法則

図dx （微小）部分の、濃度の時間変化（＝物質収支）について考えると、
$\frac{\partial{C}}{\partial{t}}=-\frac{J_{x+dx}-J_{x}}{dx}$
（J の向きはx 軸と逆であることに注意）
つまり、ある時刻において、微小部分に流れ込む量はJ_x+dx 、流れ出る量はJ_x 。それを容積（ここではdx ）で割ると、微小領域dx での濃度を求めることができる。

ここで、
$J_{x}=-D\Bigl(\frac{dC}{dx}\Bigr)_{x}$ （第１法則より）

および、

$J_{x+dx}=J_{x}+dxJ'_{x}$

$\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=f'(x)$
（微分の定義より）
だから、
$f(x+y)=f(x)+yf'(x)$
　…差分法

よって、最初の式に帰ってみると

$\begin{eqnarray*}\frac{\partial{C}}{\partial{t}}&=&-\frac{1}{dx}\Bigl(J_{x+dx}-J_{x}\Bigr)\\&=&-\frac{1}{dx}\Bigl(J_{x}+dxJ'_{x}-J_{x}\Bigr)\\&=&-J'_{x}\\&=&-\frac{d}{dx}\Bigl(-D\bigl(\frac{dC}{dx}\bigr)_{x}\Bigr)\\&=&D\bigl(\frac{\partial^2{C}}{\partial{x^2}}\bigr)_{x}\end{eqnarray*}$

つまり、

$\frac{\partial{C}}{\partial{t}}=D\frac{\partial^2{C}}{\partial{x^2}}$
が成り立つ。これがフィックの第２法則である。