交流電流での電極表面での反応物質濃度

電極反応における反応物濃度より

電極表面（平板電極）での反応物質の濃度 $C_{\tiny{O}}$ 、 $C_{\tiny{R}}$ は
$C_{\tiny{O}}(0,t)=C_{\tiny{O}}^{*}+\frac{1}{nFA({\pi}D_{O})^{1/2}}\hspace{3}{\int}_{0}^{t}\hspace{3}\frac{i(t-u)}{u^{1/2}}\hspace{3}du$

$C_{\tiny{R}}(0,t)=C_{\tiny{R}}^{*}-\frac{1}{nFA({\pi}D_{R})^{1/2}}\hspace{3}{\int}_{0}^{t}\hspace{3}\frac{i(t-u)}{u^{1/2}}\hspace{3}du$

（酸化電流を正とする）
である。

交流電流が流れている場合
$i(t-u)=I{\sin}{\omega}(t-u)$
とおくと、
${\sin}{\omega}(t-u)={\sin}{\omega}t{\cos}{\omega}u-{\cos}{\omega}t{\sin}{\omega}u$
だから、

$\begin{eqnarray}\vspace{35}{\int}_{0}^{t}\frac{i(t-u)}{u^{1/2}}\hspace{3}du&=&{\int}_{0}^{t}\frac{I{\sin}{\omega}(t-u)}{u^{1/2}}du\\\vspace{35}&=&{\int}_{0}^{t}\frac{I\left\{{\sin}{\omega}t{\cos}{\omega}u-{\cos}{\omega}t{\sin}{\omega}u\right\}}{u^{1/2}}du\\&=&I{\sin}{\omega}t{\int}_{0}^{t}\frac{{\cos}{\omega}u}{u^{1/2}}du-I{\cos}{\omega}t{\int}_{0}^{t}\frac{{\sin}{\omega}u}{u^{1/2}}du\end{eqnarray}$

交流電流のもとでは、ある一定時間後には、電極付近の反応物質濃度は定常状態となる（時刻 $t$ に非依存的になる）ため、
$0{\rightarrow}t$ への積分は $0{\rightarrow}{\infty}$ とみなしてよい。
したがって

${\int}_{0}^{t}\frac{i(t-u)}{u^{1/2}}\hspace{3}du=I{\sin}{\omega}t{\int}_{0}^{\infty}\frac{{\cos}{\omega}u}{u^{1/2}}du-I{\cos}{\omega}t{\int}_{0}^{\infty}\frac{{\sin}{\omega}u}{u^{1/2}}du$

ここでフレネル積分の公式から、

${\int}_{0}^{\infty}\frac{{\cos}{\omega}u}{u^{1/2}}du={\int}_{0}^{\infty}\frac{{\sin}{\omega}u}{u^{1/2}}du\hspace{3}=\hspace{3}\Bigl(\frac{\pi}{2{\omega}}\Bigr)^{1/2}$
なので、

${\int}_{0}^{t}\frac{i(t-u)}{u^{1/2}}\hspace{3}du=\Bigl(\frac{\pi}{2\omega}\Bigr)^{1/2}I({\sin}{\omega}t-{\cos}{\omega}t)$

以上から、
濃度の式は
$\begin{eqnarray}\vspace{30}C_{\tiny{O}}(0,t)&=&C_{\tiny{O}}^{*}+\frac{1}{nFA({\pi}D_{\tiny{O}})^{1/2}}\Bigl(\frac{\pi}{2\omega}\Bigr)^{1/2}I({\sin}{\omega}t-{\cos}{\omega}t)\\&=&C_{\tiny{O}}^{*}+\frac{I}{nFA(2D_{\tiny{O}}{\omega})^{1/2}}({\sin}{\omega}t-{\cos}{\omega}t)\end{eqnarray}$
となる。

同様に
$C_{\tiny{R}}(0,t)=C_{\tiny{R}}^{*}-\frac{I}{nFA(2D_{\tiny{R}}{\omega})^{1/2}}({\sin}{\omega}t-{\cos}{\omega}t)$