２階非斉次微分方程式を、ラプラス変換で解く。

例）
$\frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}}-a^2y(x)=-b$

両辺ラプラス変換。
$\frac{d^{2}\bar{y}(s)}{ds^{2}}-a^{2}\bar{y}(s)=-\frac{b}{s}$

微分定理から、

$s^{2}\bar{y}(s)-sy(0)-y'(0)-a^{2}\bar{y}(s)=-\frac{b}{s}$
$(s^{2}-a^{2})\bar{y}(s)=sy(0)+y'(0)-\frac{b}{s}$
$\bar{y}(s)=\frac{s^{2}y(0)+sy'(0)-b}{s(s+a)(s-a)}$

微分定理
$\bar{f}''(s)=s^{2}\bar{f}(s)-sf(0)-f'(0)$

書き方の流儀によっては
${\cal L}(f''(t))=s^{2}{\cal L}(f(t))-sf(0)-f'(0)$

ここで、
$\begin{eqnarray}\vspace{25} \frac{A}{s}+\frac{B}{s+a}+\frac{C}{s-a} &=& \frac{ A(s+a)(s-a)+Bs(s-a)+Cs(s+a)}{s(s+a)(s-a)} \\ &=& \frac{(A+B+C)s^{2}+a(C-B)s-a^{2}A}{s(s+a)(s-a)} \end{eqnarray}$

だから、
$\begin{eqnarray}\vspace{25} \bar{y}(s) &=& \frac{s^{2}y(0)+sy'(0)-b}{s(s+a)(s-a)} \\ &=& \frac{A}{s}+\frac{B}{s+a}+\frac{C}{s-a} \end{eqnarray}$