ラプラス変換の微分定理

$L\left(F\left(t\right)\right)={\int}_{0}^{\infty}e^{-st}F(t)dt$

微分関数のラプラス変換の式は、定義より
$\begin{eqnarray}L\bigl(F'(t)\bigr)&=&{\int}_{0}^{\infty}e^{-st}F'(t)dt\\\vspace{20}&=&[e^{-st}F(t)]_{0}^{\infty}-(-s){\int}_{0}^{\infty}e^{-st}F(t)dt\\\vspace{20}&=&-F(0)+sL\bigl(F(t)\bigr)\\&=&sL\bigl(F(t)\bigr)-F(0)\end{eqnarray}$

となる。
（以下の部分積分の公式を利用）
$[AB]={\int}A'Bd\tau+{\int}AB'd\tau$
${\int}AB'd\tau=[AB]-{\int}A'Bd\tau$

また、２階微分関数のラプラス変換は
$\begin{eqnarray}\vspace{20}L\bigl(F''(t)\bigr)&=&sL\bigl(F'(t)\bigr)-F'(0)\\\vspace{20}&=&s\{sL\bigl(F(t)\bigr)-F(0)\}-F'(0)\\&=&s^{2}L\bigl(F(t)\bigr)-sF(0)-F'(0)\end{eqnarray}$

である。
（以上）