フレネル積分（その４）

その３からのつづき。

第５段階

積分路 $C$ は
$C=C_{0}+C_{R}+C_{1}$
であるから、

${\int}_{C}f(z)dz={\int}_{C_{0}}f(z)dz+{\int}_{C_{R}}f(z)dz+{\int}_{C_{1}}f(z)dz$
と書くことができるので、

$\begin{eqnarray}\vspace{30} \lim_{R\rightarrow\infty}\,{\int}_{C}\,f(z)dz\,\,&=&\,\,\lim_{R\rightarrow\infty}\,{\int}_{C_{0}}f(z)dz\,\,\\ \vspace{30} &\hspace{3}& +\,\,\lim_{R\rightarrow\infty}\,{\int}_{C_{R}}f(z)dz\,\,\\ \vspace{30} &\hspace{3}&+\,\,\lim_{R\rightarrow\infty}\,{\int}_{C_{1}}f(z)dz \end{eqnarray}$
ということが成り立つ。（扇形の半径を無限大にする、ということ）

ここで、
コーシーの定理から、左辺は
$\lim_{R\rightarrow\infty}\,{\int}_{C}\,f(z)dz\,=\,0$

また、右辺は
経路 $C_{0}$ については（第２段階）、
$\lim_{R\rightarrow\infty}\,{\int}_{C_{0}}f(z)dz\,=\,{\int}_{0}^{\infty}\,e^{jx^{2}}dx$

経路 $C_{R}$ については（第３段階）、
$\lim_{R\rightarrow\infty}\,{\int}_{C_{R}}f(z)dz\,=\,0$

経路 $C_{1}$ については（第４段階）、
$\lim_{R\rightarrow\infty}\,{\int}_{C_{1}}f(z)dz\,=\,-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
であるから、
以上を先の式に代入すると、

$0\,=\,{\int}_{0}^{\infty}\,e^{jx^{2}}dx\,+\,0\,-\,\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
整理して
$\begin{eqnarray}\vspace{40}\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}+j\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}&=&{\int}_{0}^{\infty}\,e^{jx^{2}}dx\\\vspace{40}&=&{\int}_{0}^{\infty}\left(\cos{x^{2}}+j\sin{x^2}\right)dx\\\vspace{30}&=&{\int}_{0}^{\infty}\cos{x^{2}}dx+j{\int}_{0}^{\infty}\sin{x^{2}}dx\end{eqnarray}$