フレネル積分（その１）

フレネル積分（Fresnel Integral）について。

${\int}_{0}^{\infty}{\sin}x^{2}dx={\int}_{0}^{\infty}{\cos}x^{2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}$

を証明する。

第１段階

被積分関数として、
$\begin{eqnarray}f(x)&=&e^{jx^{2}}\\&=&\cos{x^{2}}+j\sin{x^{2}}\end{eqnarray}$ 　（ただし $j^{2}=-1$ ）
（オイラーの公式より）
を、複素数へ定義を拡張した関数
$f(z)=e^{jz^{2}}$
を考える。（ $z=x+jy$ ）

右図にあるような、複素平面上の周回積分を考える。扇形の積分路で、原点からスタートして、左回りにまた原点まで戻ってくる。
周回路 $C$ は３つの行程に分けられ、

$C=C_{0}+C_{R}+C_{1}$
$C_{0}\mbox{\,:\,}z=x\hspace{5}(x\mbox{\,:\,}0{\rightarrow}R)$
$C_{\scriptsize R}\mbox{\,:\,}z=Re^{j\theta}\hspace{5}(\theta\mbox{\,:\,}0{\rightarrow}\frac{\pi}{4})$
$C_{1}\mbox{\,:\,}z=re^{j\frac{\pi}{4}}\hspace{5}(r\mbox{\,:\,}R{\rightarrow}0)$

である。

以下に、それぞれの行程での積分を考えていく。

（その２へつづく）