フレネル積分（その２）

その１からのつづき。

第２段階

経路 $C_{0}$ について、
$z=x$ 　（ $dz=dx$ ）、 $x\mbox{\,:\,}0{\rightarrow}R$ なので、

$\begin{eqnarray}\vspace{50}{\int}_{C_{0}}f(z)dz&=&{\int}_{C_{0}}e^{jz^{2}}dz\\\vspace{50}&=&{\int}_{0}^{R}e^{jx^{2}}dx\end{eqnarray}$
と書ける。このとき
$\lim_{R \to \infty}\hspace{3}{\int}_{0}^{R}e^{jx^{2}}dx={\int}_{0}^{\infty}e^{jx^{2}}dx$
となる。

第３段階

経路 $C_{R}$ について、
$z=Re^{j\theta}$ 　（ $dz=jRe^{j\theta}d\theta$ ）、 $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$ だから、

$\begin{eqnarray}\vspace{50}\left|{\int}_{C_{R}}f(z)dz\right|&=&\left|{\int}_{C_{R}}e^{jz~{2}}dz\right|\\\vspace{50}&=&\left|{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{j(Re^{j\theta})^{2}}\hspace{3}jRe^{j\theta}d\theta\right|\\\vspace{50}&\leq&{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left|e^{jR^{2}({\cos}2\theta+j{\sin}2\theta)}\hspace{3}jRe^{j\theta}\right|d\theta\\\vspace{50}&=&jR{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}}\hspace{3}e^{-R^{2}{\sin}2\theta}d\theta\end{eqnarray}$

（２段目から３段目は、オイラーの公式と三角不等式（説明は省略）を利用。
また、３段目から４段目は、
$\left|e^{j\theta}\right|=\left|{\cos}\theta+j{\sin}\theta\right|=1$ 、 $\left|e^{jR^{2}{\cos}2\theta}\right|=1$
を利用した。）

ここで、 $0\leq2\theta\leq\frac{\pi}{2}$ のとき、 ${\sin}2\theta\geq\frac{4\theta}{\pi}$ 。
（右図より明らか）

また、指数関数は負にならないので、

$\begin{eqnarray}\vspace{40}R{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{-R^{2}{\sin}2\theta}d\theta&\leq&R{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{-\frac{4R^{2}\theta}{\pi}}d\theta\\\vspace{40}&=&-\frac{\pi}{4R}\left(e^{-R^{2}}-1\right)\\&\rightarrow&0\hspace{10}\left(R\rightarrow\infty\right)\end{eqnarray}$

よって、
$\lim_{R \to \infty} \left|{\int}_{C_{R}}f(z)dz\right|=0$
より
$\lim_{R\to\infty}{\int}_{C_{R}}f(z)dz=0$

その３へつづく