フレネル積分（その３）

その２からのつづき。

第４段階

経路 $C_{1}$ について、

図より
$z=re^{j\frac{\pi}{4}}$ 　　（ $dz=e^{j\frac{\pi}{4}}dr$ ）、 $r\mbox{\,:\,}R{\rightarrow}0$ だから、

$\begin{eqnarray}\vspace{50}{\int}_{C_{1}}f(z)dz&=&{\int}_{C_{1}}e^{jz^{2}}dz\\\vspace{50}&=&{\int}_{R}^{0}\,\,e^{j\left(re^{j\frac{\pi}{4}}\right)^{2}}\,\,e^{j\frac{\pi}{4}}dr\\\vspace{50}&=&{\int}_{R}^{0}\,\,e^{jr^{2}e^{j\frac{\pi}{2}}}\,\,e^{j\frac{\pi}{4}}dr\\\vspace{30}&=&{}-e^{j\frac{\pi}{4}}{\int}_{0}^{R}\,\,e^{-r^{2}}dr\end{eqnarray}$

（ $e^{j\frac{\pi}{2}}=\cos{\frac{\pi}{2}}+j\sin{\frac{\pi}{2}}=\,j$ ）

よって、

$\begin{eqnarray}\vspace{40}\lim_{R\rightarrow\infty}\,{\int}_{C_{1}}\,f(z)dz&=&{}-e^{j\frac{\pi}{4}}\,\,\lim_{R\rightarrow\infty}\,\,{\int}_{0}^{R}\,\,e^{-r^{2}}dr\\\vspace{40}&=&{}-\left(\cos{\frac{\pi}{4}}+j\sin{\frac{\pi}{4}}\right)\,\,\lim_{R\rightarrow\infty}\,\,{\int}_{0}^{R}\,e^{-r^{2}}dr\\\vspace{40}&=&-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\,{\int}_{0}^{\infty}\,e^{-r^{2}}dr\end{eqnarray}$