交流回路（RC）におけるインピーダンス（その１）

交流（RC回路）の勉強。

抵抗 $R$ に交流電圧 $\tilde{E}$ を印加して、交流電流 $\tilde{I}$ が流れているとする。
電流は $\tilde{I} = I_{\rm{m}}sin{\omega}t$ とする。
$I_{\rm{m}}$ は交流電流のピーク値、
$\omega$ は交流の周波数を $f$ Hzとして、 $2\pi{f}$ で表される角周波数である。

抵抗は、交流に対してもオームの法則が適用できるので、抵抗の両端にかかる電圧は、
$\tilde{E} = R\tilde{I} = RI_{\rm{m}}sin{\omega}t$ となる。
このとき回路のインピーダンス $Z$ は
$Z=R\sin\omega{t}$
と書ける。

次に、キャパシタ $C$ に同じように交流電圧を印加した場合を考えてみる。
$C$ に蓄えられた電気量 $Q$ は、電圧 $E$ とキャパシタの容量 $C$ を用いて、以下のように表わせる。
$Q = \int{I{\rm{d}}t} = CE$
交流電流 $\tilde{I}$ がキャパシタに流れているときの、キャパシタ両端の電圧は、
$\begin{eqnarray}\vspace{25}\tilde{E} &=& \frac{1}{C}\int{\tilde{I}\rm{d}t}\\\vspace{25} &=& -\frac{I_{\rm{m}}}{{\omega}C}cos{\omega}t\\\vspace{25} &=& \frac{I_{\rm{m}}}{{\omega}C}sin(\omega t- \frac{\pi}{2})\end{eqnarray}$
となり、このとき電圧の位相は、電流の位相よりも $\frac{\pi}{2}$ だけ遅れることがわかる。
このときの回路インピーダンス $Z$ は
$Z=-\frac{1}{\omega{C}}\cos\omega{t}$
となる。

抵抗とキャパシタが直列接続の回路の場合。

$R$ と $C$ は直列なので、同じ電流 $\tilde{I}$ が流れる。

交流電流を、以下のように書くと
$\tilde{I}=I_{\rm{m}}sin{\omega}t$

抵抗 $R$ にかかる電圧は
$\tilde{E}_{r}=RI_{\rm{m}}sin{\omega}t$
となる。

一方、キャパシタ $C$ にかかる電圧は
$\begin{eqnarray}\vspace{22} \tilde{E}_{c} &=& \frac{1}{C}{\int}{\tilde{I}}dt \\ \vspace{22} &=& \frac{I_{\rm{m}}}{C}{\int}sin{\omega}t \\ \vspace{22} &=& -\frac{I_{\rm{m}}}{{\omega}C}cos{\omega}t \end{eqnarray}$
となる。

したがって、回路電圧 $\tilde{E}$ は

$\begin{eqnarray}\vspace{25} \tilde{E} &=& \tilde{E}_{r} + \tilde{E}_{c}\\ \vspace{25} &=& RI_{\rm{m}}sin{\omega}t - \frac{I_{\rm{m}}}{{\omega}C}cos{\omega}t \\ &=& I_{\rm{m}} \Bigl( R sin{\omega}t - \frac{1}{{\omega}C}cos{\omega}t \Bigr) \end{eqnarray}$

したがって、この回路のインピーダンス $Z$ は、
$Z=R{\sin}{\omega}t-\frac{1}{{\omega}C}{\cos}{\omega}t$
と書ける。

位相をわかりやすく表現するために、複素平面で考える。
横軸（実数軸） $Z_{\rm{\tiny{Re}}}$ に　 ${\sin}{\omega}t$ 　、縦軸（虚数軸） $Z_{\rm{\tiny{Im}}}$ に　 $-{\cos}{\omega}t$ 　をとった複素平面を考えると（右図）、インピーダンス $Z$ は、この平面上のひとつのベクトルとして表示することができる。（通常、 $Z_{\rm{\tiny{Im}}}$ は負の値をとるため、電気の世界では、複素平面の $y$ 軸を反転して、 $-Z_{\rm{\tiny{Im}}}$ を正の向きにとる。こうすると、インピーダンスを第１象限に描くことができて、便利である。）