交流解析における電気化学セルの解釈（その３）

その２からのつづき。

$\left\{ \begin{} \begin{eqnarray} \vspace{35} Z_{\rm{Re}} &=& R_{\rm{\Omega}} + \frac{R_{\rm{ct}} \hspace{3} + \hspace{3} \sigma\omega^{-1/2}}{ \left(\sigma\omega^{1/2}C_{\rm{\tiny{d}}} + 1 \right)^{2} \hspace{3} + \hspace{3} \omega^{2} C_{\rm{\tiny{d}}}^{2} \left( R_{\rm{ct}} + \sigma\omega^{-1/2} \right)^{2}} \\ -Z_{\rm{Im}} &=& \frac{{\omega}C_{\rm{\tiny{d}}} \left( R_{\rm{ct}} + \sigma\omega^{-1/2} \right)^{2} \hspace{3} + \hspace{3} \sigma\omega^{-1/2} \left( \sigma\omega^{1/2}C_{\rm{\tiny{d}}} + 1 \right)}{ \left( \sigma\omega^{1/2}C_{\tiny{\rm{d}}} + 1 \right)^{2} \hspace{3} + \hspace{3} \omega^{2}C_{\rm{\tiny{d}}}^{2} \left( R_{\rm{ct}} + \sigma\omega^{-1/2} \right)^{2} } \end{eqnarray}$

今度は、
$\omega \rightarrow \infty$ のとき（角周波数が大きくなるとき）を考える。

$\omega \rightarrow \infty$ のとき、拡散によるインピーダンスの影響は、相対的に小さくなる（電荷移動に由来するインピーダンス成分が支配的となる）。

したがって、
$Z_{\tiny{\rm{W}}} \rightarrow 0 \hspace{10} \left( \sigma \rightarrow 0 \right)$
とみなすことができるため、上の式から $\sigma \rightarrow 0$ とすれば、

$\left\{ \begin{eqnarray} \vspace{25} Z_{\tiny{\rm{Re}}} &=& R_{\tiny{\rm{\Omega}}} + \frac{R_{\tiny{\rm{ct}}}}{1+C_{\tiny{\rm{d}}}^{2} R_{\tiny{\rm{ct}}}^{2}\omega^{2}} \\ -Z_{\rm{\tiny{Im}}} &=& \frac{C_{\tiny{\rm{d}}}R_{\tiny{\rm{ct}}}^{2}\omega}{1+C_{\tiny{\rm{d}}}^{2}R_{\tiny{\rm{ct}}}^{2}\omega^{2}} \end{eqnarray}$
となる。

上の式を変形すると、
$\left( Z_{\tiny{\rm{Re}}} - \left( R_{\tiny{\rm{\Omega}}} + \frac{R_{\tiny{\rm{ct}}}}{2} \right) \right)^{2} + Z_{\tiny{\rm{Im}}}^{2} = \left( \frac{R_{\tiny{\rm{ct}}}}{2} \right)^{2}$
$Z_{\rm{\tiny{Re}}}$ と $-Z_{\rm{\tiny{Im}}}$ の関係は、右図のように、複素平面上で、半径 $\frac{R_{\rm{ct}}}{2}$ の円弧を描くことがわかる。実数軸とは左側で $R_{\rm{\tiny{\Omega}}}$ と交わり、右側で（円弧を延長すれば） $R_{\rm{\tiny{\Omega}}}+R_{\rm{ct}}$ で交わる。

その４へつづく。