交流回路（RC）におけるインピーダンス（その２）

その１からのつづき。



抵抗とキャパシタが並列接続の場合。


交流電圧\tilde{E} = E_{\rm{m}}sin{\omega}tがRとCにかかるので、


抵抗Rの電流は
\begin{eqnarray}\vspace{22} \tilde{I}_{r} &=& \frac{\tilde{E}}{R} \\ &=& \frac{E_{\rm{m}}}{R}sin{\omega}t \end{eqnarray}
よって、RのインピーダンスZ_{\tiny{R}}は
Z_{\tiny{R}}=\frac{R}{\sin\omega{t}}


キャパシタCの電流は
\tilde{E}=\frac{1}{C}{\int}{\tilde{I}_{c}}dt
より
\frac{d{\tilde{E}}}{dt} = \frac{\tilde{I}_{c}}{C}
すなわち
\tilde{I}_{c} = E_{\rm{m}}{\omega}{C}cos{\omega}t
よって、CのインピーダンスZ_{\tiny{C}}は
Z_{\tiny{C}}=\frac{1}{\omega{C}\cos\omega{t}}


以上から、
並列回路のインピーダンスをZとすると、
\begin{eqnarray}\frac{1}{Z} &=& \frac{1}{Z_{\tiny{R}}} + \frac{1}{Z_{\tiny{C}}} \\ &=& \frac{1}{R}\sin\omega{t} + \omega{C}\cos\omega{t} \end{eqnarray}

複素平面での表現では、
\frac{1}{Z} = \frac{1}{R} + \omega C j
となる。


逆数をとって変形すると、以下の式になる。
Z=\frac{R-\omega{C}R^{2}j}{1+\left(\omega{C}R\right)^{2}}


実数部と虚数部に分ける。
Z=Z_{\rm{\tiny{Re}}}+Z_{\rm{\tiny{Im}}}j
だから、


\left\{ \begin{} \begin{eqnarray} \vspace{30} Z_{\rm{\tiny{Re}}} &=& \frac{R}{1+\left(\omega{C}R\right)^{2}} \\ Z_{\rm{\tiny{Im}}} &=& -\frac{\omega{C}R^{2}}{1+\left( \omega{C}R \right)^{2}} \end{eqnarray}


これをさらに変形すると、
\left( Z_{\rm{\tiny{Re}}} - \frac{R}{2} \right)^{2} + Z_{\rm{\tiny{Im}}}^{2} = \left( \frac{R}{2} \right)^{2}


この式を複素平面の第１象限に書くと、右図のような円弧を描く。
\omega \rightarrow 0でZ_{\rm{Re}} \rightarrow R、Z_{\rm{Im}} \rightarrow 0。
\omega \rightarrow \inftyでZ_{\rm{Re}} \rightarrow 0、Z_{\rm{Im}} \rightarrow 0となる。
すなわち、角周波数を小さいほうから大きくしていくと、円弧の上を右から左へ移動していくイメージになる。
この図において、円弧の右側の実数軸との交点から、抵抗Rの値がわかる。
さらに、\left(Z_{\rm{\tiny{Re}}} \hspace{2},\hspace{3} -Z_{\rm{\tiny{Im}}}\right)=\left(\frac{R}{2}\hspace{2},\hspace{3} \frac{R}{2}\right)のとき、\omega C=\frac{1}{R}となるため、半円の頂点からキャパシタ容量Cを得ることができる。


（参考：ベーシック電気化学）