複素平面

複素平面の任意の点は
re^{j\theta}=r{\cos}{\theta}+jr{\sin}{\theta}
と書ける。


位相が\frac{\pi}{2}だけ進むと、

\begin{eqnarray} re^{j\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)} &=& r{\cos}\left({\theta}+\frac{\pi}{2}\right) + jr {\sin}\left({\theta}+\frac{\pi}{2}\right) \vspace{30}\\ &=& r \left( cos {\theta} \cos\frac{\pi}{2} - \sin{\theta} \sin\frac{\pi}{2} \right) + jr \left( \sin{\theta} \cos\frac{\pi}{2} + \cos{\theta} \sin\frac{\pi}{2} \right) \vspace{30} \\ &=& -r{\sin}{\theta} + jr {\cos}{\theta} \vspace{30} \\ &=& j \left( r{\cos}{\theta}+jr{\sin}{\theta} \right) \vspace{30} \\ &=& j \left( re^{j\theta} \right) \end{eqnarray}


つまり複素平面では、虚数単位 j を乗算するごとに、90度位相が進む。
この性質は、交流電気回路のふるまいなどを理解するうえで、便利である。